题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率是 $数学公式$ ．
（1）证明：a=2b；
（2）设点P为椭圆上的动点，点 $数学公式$ ，若 $数学公式$ 的最大值是 $数学公式$ ，求椭圆的方程．

解：（1）证明：设椭圆 $\text{[math]}$ 的半焦距为c．
因为椭圆的离心率是 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即a=2b．
（2）设点P（x，y）．
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，其中-b≤y≤b．
①若 $\text{[math]}$ 2，则当y=-b3时， $\text{[math]}$ 4取得最大值．
由题设， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，这与 $\text{[math]}$ 矛盾．
②若 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最大值．
由题设， $\text{[math]}$ ，解得b=1，从而a=2．
故椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据离心率为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 以及c²=a²-b²，即可证明结论．
（2）设P（x，y）由/ $\text{[math]}$ /的最大值为 $\text{[math]}$ ，求得b的值，从而求得椭圆方程．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质，并渗透了向量、函数最值等问题，此题要注意对b的范围进行分类讨论，属于基础题．

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，直线l的斜率存在且不为0，那么直线l的斜率是______．

的离心率是

．
（1）证明：a=2b；
（2）设点P为椭圆上的动点，点

的最大值是

，求椭圆的方程．