Question

直线l与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)交于不同的两点M，N，过点M，N作x轴的垂线，垂足恰好是椭圆的两个焦点，已知椭圆的离心率是

2

2

，直线l的斜率存在且不为0，那么直线l的斜率是______．

Answer 1

∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率是

2

2

，
∴a=2k，c=

2

k，b=

2

k，
设椭圆的两个焦点横坐标是-c，c，
则M（-c，-

b2

a

），N（c，

b2

a

），或M（-c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），
当M（-c，-

b2

a

），N（c，

b2

a

）时，
直线l的斜率k=

2b2 a

2c

=

b2

ac

=

2k2

2 2 k2

=

2

2

；
当M（-c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

）时，
直线l的斜率k=-

2b2 a

2c

=-

b2

ac

=-

2k2

2 2 k2

=-

2

2

．
故答案为：±

2

2

．