Question

（2010•上饶二模）已知AC，BD为圆O：x²+y²=4的两条互相垂直的弦，垂足为m(1，

2

)．则四边形ABCD的面积的取值范围是

[4，5]

．

Answer 1

分析：设圆心到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则 d₁²+d₂² =3，代入面积公式s=

1

2

AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．通过面积公式化简，利用不等式的基本性质，求出表达式的最小值，得到四边形面积的范围．

解答：解：如图
连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEMF为矩形
已知OA=OC=2  OM=

3

，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，
则d₁²+d₂²=OM²=3．
四边形ABCD的面积为：s=

1

2

•|AC|（|BM|+|MD|），
从而：
s=

1

2

|AC|•|BD|=2

(4- d 2 1 )(4- d 2 2 )

≤8-(

d

2 1

+

d

2 2

)=5，
（当且仅当d₁² =d₂²时取等号．）
又，s=2

(4- d 2 1 )(4- d 2 2 )

=2

16-4( d 2 1 + d 2 2 )+ d 2  1 d 2 2

=2

4+ d 2 1 d 2 2

≥4．
四边形ABCD的面积的取值范围是：[4，5]．
故答案为：[4，5]．

点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．解答关键是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算．