Question

已知定义在[-3，3]上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）求证：函数f（x）在[-3，3]上是减函数；
（3）解不等式f（2x-1）+f（3x+2）＜0．

Answer 1

分析：（1）先令x=y=0，求得f（0）=0，再令y=-x，即可证函数f（x）是奇函数；
（2）设-3≤x₁＜x₂≤3，作差f（x₁）-f（x₂）后化简，利用单调性的定义即可证明函数f（x）在[-3，3]上是减函数；
（3）函数f（x）是奇函数，f（2x-1）+f（3x+2）＜0?f（2x-1）＜-f（3x+2）=f（-3x-2），利用（2）函数f（x）在[-3，3]上是减函数，即可求得x的范围．

解答：（1）证明：令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，即
f（-x）=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数．
（2）证明：对于[-3，3]上的任意两个值x₁，x₂，且x₁＞x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
又x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，又当x＞0时，f（x）＜0．
∴f（x₁-x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
故函数f（x）在[-3，3]上是减函数．
（3）解：由（2）知：函数f（x）在R上是减函数．
∵f（2x-1）+f（3x+2）＜0，
∴f（2x-1）＜-f（3x+2）=f（-3x-2）．
∴2x-1＞-3x-2，
解得x＞-

1

5

．又

-3≤2x-1≤3 -3≤3x+2≤3

，
所以解集为（-

1

5

，

1

3

]．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，考查不等式的解法，属于中档题．