Question

已知定义在[-3，3]上的函数 ，（t为常数）．
（1）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值及取得最小值时的x；
（2）当t≥6时，证明函数y=f（x）的图象上至少有一点在直线y=8上．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函数的导数，研究函数f（x）在[-2，0]上的单调性，确定出最值的位置，求出最值及取得最值时的自变量；
（2）t≥6时，研究函数的单调性，求出函数在定义在[-3，3]上最大值，将此最值与8比较即可得出所要证明的结论成立与否
解答：解：（1）f'（x）=t-
∵2≤t≤6∴

x		-
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

当时，即t=6时，f（x）在上是增函数，
当即2＜t＜6时，f（x）在减，在上增
∴f（x）在[-2，0]上最小值为，此时x=-
（2）由（1）可知f（x）在上增，
当即时，f（x）在[-3，3]上最大值为f（3）=3t-=27＞8
当即时，f（x）在[0，3]上最大值为，=8
又f（0）=0，
∴y=f（x）的图象上至少有一点在直线y=8上
点评：本题考查利用导数求闭区间上的最值，解题的关键是利用导数研究清楚函数的单调性，确定出最值取到的位置，求出最值，本题第二小题将图象在直线上方的问题转化为函数值的比较，解题时注意这一技巧的运用，本题运算量比较大，解题时要注意严谨运算，莫因为运算出错导致解题失败