题目内容

已知定义在[-3，3]上的函数 $数学公式$ ，（t为常数）．
（1）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值及取得最小值时的x；
（2）当t≥6时，证明函数y=f（x）的图象上至少有一点在直线y=8上．

解：（1）f'（x）=t- $\text{[math]}$
∵2≤t≤6∴ $\text{[math]}$

x	$\text{[math]}$	- $\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

当 $\text{[math]}$ 时，即t=6时，f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数，
当 $\text{[math]}$ 即2＜t＜6时，f（x）在 $\text{[math]}$ 减，在 $\text{[math]}$ 上增
∴f（x）在[-2，0]上最小值为 $\text{[math]}$ ，此时x=- $\text{[math]}$
（2）由（1）可知f（x）在 $\text{[math]}$ 上增，
当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时，f（x）在[-3，3]上最大值为f（3）=3t- $\text{[math]}$ =27＞8
当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时，f（x）在[0，3]上最大值为， $\text{[math]}$ =8
又f（0）=0，
∴y=f（x）的图象上至少有一点在直线y=8上
分析：（1）求出函数的导数，研究函数f（x）在[-2，0]上的单调性，确定出最值的位置，求出最值及取得最值时的自变量；
（2）t≥6时，研究函数的单调性，求出函数在定义在[-3，3]上最大值，将此最值与8比较即可得出所要证明的结论成立与否
点评：本题考查利用导数求闭区间上的最值，解题的关键是利用导数研究清楚函数的单调性，确定出最值取到的位置，求出最值，本题第二小题将图象在直线上方的问题转化为函数值的比较，解题时注意这一技巧的运用，本题运算量比较大，解题时要注意严谨运算，莫因为运算出错导致解题失败