Question

4．求证：$\frac{1+sinα}{1-sinα}$=（$\frac{1}{cosα}$+tanα）²．

Answer 1

分析 左边=$\frac{（1+sinα）^2}{1-sin^2α}$=$\frac{1+sin2α}{cos^2α}$；右边=（$\frac{1}{cosα}$+$\frac{sinα}{cosα}$）²=（$\frac{1+sinα}{cosα}$）²=$\frac{1+sin2α}{cos^2α}$．

解答 证明：左边=$\frac{1+sinα}{1-sinα}$
=$\frac{（1+sinα）^2}{1-sin^2α}$=$\frac{1+2sinαcosα}{cos^2α}$
=$\frac{1+sin2α}{cos^2α}$，
右边=（$\frac{1}{cosα}$+tanα）²
=（$\frac{1}{cosα}$+$\frac{sinα}{cosα}$）²=（$\frac{1+sinα}{cosα}$）²
=$\frac{1+2sinαcosα}{cos^2α}$
=$\frac{1+sin2α}{cos^2α}$，
所以，左边=右边．

点评 本题主要考查了三函数恒等式的证明，涉及同角三角函数的基本关系，二倍角公式，灵活运用公式进行恒等变形是解题的关键，属于中档题．