题目内容
已知向量| a |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| b |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）若x=
| 7π |
| 12 |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）若k=1，当x为何值时，f（x）有最小值，最小值是多少？
（3）若f（x）的最大值为3，求k的值．
分析：（1）利用向量的数量积，化简表达式，代入x=
，求
•
的值，直接求出|
+
|的表达式，代入x=
求出值即可．
（2）若k=1，当x为何值时，化简函数f（x）的表达式，利用二次函数直接求出函数的最小值．
（3）借助（2）推出函数的表达式，通过换元法对函数的对称轴是否在区间讨论，通过f（x）的最大值为3，直接求出k的值．
| 7π |
| 12 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 7π |
| 12 |
（2）若k=1，当x为何值时，化简函数f（x）的表达式，利用二次函数直接求出函数的最小值．
（3）借助（2）推出函数的表达式，通过换元法对函数的对称轴是否在区间讨论，通过f（x）的最大值为3，直接求出k的值．
解答：解：（1）由题意可知
•
=(cos(x-
)，sin(x-
))• (cos(x+
)，-sin(x+
))
=cos(x-
)•cos(x+
)- sin(x-
)•sin(x+
)
=cos2x，∵x=
，∴
•
=cos2x=-
．
|
+
|=|(cos(x-
)+cos(x+
)，- sin(x-
)+sin(x+
))|
=
=
=
=
．
（2）k=1，f(x)=
•
-k|
+
|=
•
-|
+
|
=2cos2x-2|cosx|-1
当x=
或x=
时，函数f（x）有最小值f（x）min=-
；
（3）由（2）可知f（x）=2cos2x-2k|cosx|-1
设|cosx|=t，由x∈[0，π]
则：f（x）=g（t）=2t2-2kt-1，t∈[0，1]
当：
≤
?k≤1时，f（x）max=g（1）=2-2k-1=3?k=-1
?k=-1，
当：
＞
?k＞1时，f（x）max=g（0）=-1≠3，
综上之：k=-1．
| a |
| b |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=cos(x-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=cos2x，∵x=
| 7π |
| 12 |
| a |
| b |
| ||
| 2 |
|
| a |
| b |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=
(cos(x-
|
=
| 2+2cos2x |
2-
|
| ||||
| 2 |
（2）k=1，f(x)=
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
=2cos2x-2|cosx|-1
当x=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
（3）由（2）可知f（x）=2cos2x-2k|cosx|-1
设|cosx|=t，由x∈[0，π]
则：f（x）=g（t）=2t2-2kt-1，t∈[0，1]
当：
| k |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
|
当：
| k |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
综上之：k=-1．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，向量的数量积与向量的模的应用，考查换元法以及二次函数最值的应用，难度较大．
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