题目内容
（2009•昆明模拟）某射手向一个气球射击，假定各次射击是相互独立的，且每次射击击破气球的概率均为
．
（I）若该射手共射击三次，求第三次射击才将球击破的概率；
（II）给出两种积分方案：
方案甲：提供三次射击机会和一张700点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分128ξ点．
方案乙：提供四次射击机会和一张1000点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分256ξ点．
在执行上述两种方案时规定：若将球击破，则射击停止；若未击破，则继续射击直至用完规定的射击次数．
问：该射手应选择哪种方案才能使积分卡剩余点数最多，并说明理由．
| 1 | 4 |
（I）若该射手共射击三次，求第三次射击才将球击破的概率；
（II）给出两种积分方案：
方案甲：提供三次射击机会和一张700点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分128ξ点．
方案乙：提供四次射击机会和一张1000点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分256ξ点．
在执行上述两种方案时规定：若将球击破，则射击停止；若未击破，则继续射击直至用完规定的射击次数．
问：该射手应选择哪种方案才能使积分卡剩余点数最多，并说明理由．
分析：（I）设Ai表示第i次将球击破，则P=P（
•
•A3），由此能求出第三次射击才将球击破的概率．
（II）对于方案甲，积分卡剩余点数η甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3；对于方案乙，积分卡剩余点数η乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4．分别求出Eη甲和Eη乙，能得到结果．
. |
| A1 |
. |
| A2 |
（II）对于方案甲，积分卡剩余点数η甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3；对于方案乙，积分卡剩余点数η乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4．分别求出Eη甲和Eη乙，能得到结果．
解答：解：（I）设Ai表示第i次将球击破，
则P=P（
•
•A3）=
×
×
=
．（5分）
（II）对于方案甲，积分卡剩余点数η甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3，
由已知可得P（ξ=0）=
，
P（ξ=1）=
×
=
，
P（ξ=2）=（
）2×
=
，
P（ξ=3）=（
）3=
．
故Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．
故Eη甲=E（700-128ξ）=700-128Eξ=478．（8分）
对于方案乙，积分卡剩余点数η乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4，
由已知可得P（ξ=0）=
，
P（ξ=1）=
×
=
，
P（ξ=2）=（
）2×
=
，
P（ξ=3）=（
）3×
=
，
P（ξ=4）=（
）4=
∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3
+4×
=
．
故Eη乙=E（1000-256ξ）=1000-Eξ=475．（11分）
故Eη甲＞Eη乙，
所以选择方案甲积分卡剩余点数最多．（12分）
则P=P（
. |
| A1 |
. |
| A2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 64 |
（II）对于方案甲，积分卡剩余点数η甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3，
由已知可得P（ξ=0）=
| 1 |
| 4 |
P（ξ=1）=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 16 |
P（ξ=2）=（
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 64 |
P（ξ=3）=（
| 3 |
| 4 |
| 27 |
| 64 |
故Eξ=0×
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
| 64 |
| 27 |
| 64 |
| 111 |
| 64 |
故Eη甲=E（700-128ξ）=700-128Eξ=478．（8分）
对于方案乙，积分卡剩余点数η乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4，
由已知可得P（ξ=0）=
| 1 |
| 4 |
P（ξ=1）=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 16 |
P（ξ=2）=（
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 64 |
P（ξ=3）=（
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 27 |
| 256 |
P（ξ=4）=（
| 3 |
| 4 |
| 81 |
| 256 |
∴Eξ=0×
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
| 64 |
| 27 |
| 256 |
| 81 |
| 256 |
| 525 |
| 256 |
故Eη乙=E（1000-256ξ）=1000-Eξ=475．（11分）
故Eη甲＞Eη乙，
所以选择方案甲积分卡剩余点数最多．（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的合理运用．
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