题目内容
【题目】已知函数f(x)=sinxcos(x﹣ )+cos2x﹣
.
(1)求函数f(x)的最大值,并写出f(x)取最大值x时的取值集合;
(2)若f(x0)= ,x0∈[
,
],求cos2x0的值.
【答案】
(1)解:f(x)=sinxcos(x﹣ )+cos2x﹣
=sinx( cosx+
sinx)+
﹣
= sin2x+
+
cos2x
= sin(2x+
)+
,
当2x+ =2kπ+
(k∈Z),即x=kπ+
(k∈Z)时,f(x)取得最大值
.
函数f(x)的最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+ (k∈Z)}
(2)解:若f(x0)= ,即
sin(2x0+
)+
=
,
整理得:sin(2x0+ )=
,
∵x0∈[ ,
],
∴2x0+ ∈[
,
],
∴cos(2x0+ )=﹣
,
∴cos2x0=cos[(2x0+ )﹣
]=cos(2x0+
)cos
+sin(2x0+
)si'n
=﹣
×
+
×
=
【解析】(1)利用两角和与差的正弦、余弦公式可化简f(x)=sinxcos(x﹣ )+cos2x﹣
=
sin(2x+
)+
,再利用正弦函数的性质即可求得函数f(x)的最大值及f(x)取最大值x时的取值集合;(2)x0∈[
,
]2x0+
∈[
,
],故可求得cos(2x0+
)=﹣
,利用两角差的余弦cos2x0=cos[(2x0+
)﹣
]即可求得cos2x0的值.
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