Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C中，已知AC⊥BC，AB⊥BB₁，CD⊥平面AA B₁B，AC=BC=2．
（I）求证：BB₁⊥平面ABC；
（II）设∠CA1D=

π

6

，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析：（I）利用直线与平面垂直的判定定理证明BB₁⊥平面ABC；
（II）求出CD，在Rt△CDA₁中，∠CA1D=

π

6

，求出A₁C．然后在Rt△CAA₁中，求出AA₁，然后求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，
又CD⊥平面AA B₁B，．∴CD⊥BB1，
BB1⊥AB，AB∩CD=DF，
∴BB₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：因为AC⊥BC，AC=BC=2所以CD=

2

，
又在Rt△CDA₁中，∠CA1D=

π

6

，
所以A₁C=

CD

sin π 6

=2

2

．
又在Rt△CAA₁中，AA₁²=（2

2

）²-2²=4，
所以AA₁=2，
所以所求体积为V=

1

2

×23=4．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．