题目内容
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-| 7x | x2+x+1 |
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）试确定函数y=f（x）（x≥0）单调区间，并证明你的结论．
分析：（1）根据函数偶函数的定义可知f（-x）=f（x），设x＜0则-x＞0，代入当x≥0时f（x）的解析式即可求出x＜0时，f（x）的解析式；
（2）设x1，x2是区间[0，+∞）上任意两个实数，且0≤x1＜x2，然后判定f（x1）-f（x2）的符号，最后根据函数单调性的定义进行判定即可．
（2）设x1，x2是区间[0，+∞）上任意两个实数，且0≤x1＜x2，然后判定f（x1）-f（x2）的符号，最后根据函数单调性的定义进行判定即可．
解答：解：（1）若x＜0则-x＞0，∵f（x）是偶函数，
∴f(x)=f(-x)=
=
（2）设x1，x2是区间[0，+∞）上任意两个实数，且0≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）f(x1)-f(x2)=
-
=
当0≤x1＜x2≤1时，x1-x2＜0，x1x2-1＜0而x12+x1+1＞0及x22+x2+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x）在[0，1]上为减函数．
同理当1＜x1＜x2时，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数
∴f(x)=f(-x)=
| -7(-x) |
| (-x)2+(-x)+1 |
| 7x |
| x2-x+1 |
（2）设x1，x2是区间[0，+∞）上任意两个实数，且0≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）f(x1)-f(x2)=
| -7x1 | ||
|
| -7x2 | ||
|
| 7(x1-x2)(x1x2-1) | ||||
(
|
当0≤x1＜x2≤1时，x1-x2＜0，x1x2-1＜0而x12+x1+1＞0及x22+x2+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x）在[0，1]上为减函数．
同理当1＜x1＜x2时，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数
点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性以及函数的解析式等有关知识，同时考查了计算能力，属于基础题．
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