Question

四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点，Q为CD的中点．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求AQ与平面CDM所成的角．

Answer 1

分析：（1）连结PQ、AQ．菱形ABCD中证出AQ⊥CD，结合正三角形△PCD中PQ⊥CD，可得CD⊥平面PAQ，而PA?平面PAQ，即可证出PA⊥CD．
（2）分别以QA、QC、QP所在直线为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系Q-xyz．算得

PA

、

CM

的坐标，从而得到

PA

?

CM

=0，可得PA⊥CM．结合（1）的结论PA⊥CD，证出PA⊥平面CDM，得

PA

就是平面CDM的法向量．因此根据空间向量的夹角公式算出＜

QA

，

PA

＞的余弦值，即可得到AQ与平面CDM所成的正弦值，从而求出AQ与平面CDM所成的角的大小．

解答：解：（1）连结PQ、AQ．
∵△PCD为正三角形，∴PQ⊥CD．
∵底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，
∴AQ⊥CD．
∵AQ、PQ是平面PAQ内的相交直线，
∴CD⊥平面PAQ．…（4分）
∵PA?平面PAQ，∴PA⊥CD．
（2）由（1）可知PQ⊥CD，AQ⊥CD．
又由侧面PDC⊥底面ABCD，得PQ⊥AQ．
因此，分别以QA、QC、QP所在直线为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系Q-xyz．…（6分）
易知P（0，0，

3

）、A（

3

，0，0）、B（

3

，2，0）、C（0，1，0）、D（0，-1，0）．…（7分）
由M（

3

2

，1，

3

2

），得

CM

=（

3

2

，0，

3

2

），
得

PA

?

CM

=

3

4

+0-

3

4

=0，可得PA⊥CM．…（10分）
∵CM、CD是平面CDM内的相交直线，
∴PA⊥平面CDM，
从而

PA

就是平面CDM的法向量．…（12分）
设AQ与平面所成的角为α，
则sinα=|cos＜

QA

，

PA

＞|=|

3

3 × 6

|=

2

2

，可得α=45°
∴AQ与平面CDM所成的角为45°．…（14分）

点评：本题在特殊四棱锥中求证异面垂直，并求直线与平面所成角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、利用空间向量研究直线与平面所成角大小等知识，属于中档题．