题目内容
已知三个函数y=|x|+1,y=,y=(x+)(x>0),它们各自的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根,其中t为常数,且0<t<1.(1)求证:a2=2b+3.
(2)设(x1,M),(x2,N)是函数f(x)=x3+ax2+bx+c的两个极值点.
①若|x1-x2|=,求函数f(x)的解析式;
②求|M-N|的取值范围.
(1)证明:三个函数的最小值依次为1,,,
由f(1)=0,得c=-a-b-1.
∴f(x)=x3+ax2+bx+c=x3+ax2+bx-(a+b+1)
=(x-1)[x2+(a+1)x+(a+b+1)].
故方程x2+(a+1)x+(a+b+1)=0的两根是,.
故+=-(a+1),·=a+b+1.
(+)2=(a+1)2,
即2+2(a+b+1)=(a+1)2,∴a2=2b+3.
(2)解:①依题意x1、x2是方程f′(x)=3x2+2ax+b=0的根,
故有x1+x2=-,x1x2=,
且Δ=(2a)2-12b>0,得b<3.
由|x1-x2|===.
=,得b=2,a2=2b+3=7.
由(1)知+=-(a+1)>0,故a<-1.
∴a=-,c=-(a+b+1)=-3.
∴f(x)=x3-x2+2x+-3.
②|M-N|=|f(x1)-f(x2)|
=|(x13-x23)+a(x12-x22)+b(x1-x2)|
=|x1-x2|·|(x1+x2)2-x1x2+a(x1+x2)+b|
=|(-)2-+a·(-)+b|
=〔或〕.
由(1)(a+1)2=(+)2=2+2,
∵0<t<1,∴2<(a+1)2<4.又a<-1,∴-2<a+1<-,
-3<a<--1,3+2<a2<9(或<b<3).
∴0<|M-N|<.