题目内容
已知三个函数y=|x|+1，y=
，y=
（x+
）（x＞0），其中第二个函数和第三个函数中的t为同一常数，且0＜t＜1，它们各自的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根．
（1）求证：（a-1）2=4（b+1）；
（2）设x1，x2是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点，求|x1-x2|的取值范围．
| x2-2x+1+t |
| 1 |
| 2 |
| t |
| x |
（1）求证：（a-1）2=4（b+1）；
（2）设x1，x2是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点，求|x1-x2|的取值范围．
分析：（1）确定函数的最小值与方程x3+ax2+bx+c=0的三个根关系，证明：（a-1）2=4（b+1）；
（2）利用导数与极值的关系，结合二次函数根与系数之间的关系求取值范围．
（2）利用导数与极值的关系，结合二次函数根与系数之间的关系求取值范围．
解答：解：（1）三个函数的最小值依次为1，
，
，
由f（1）=0得a+b+c=-1，即c=-a-b-1，
所以f（x）=x3+ax2+bx-（a+b+1）=（x-1）[x2+（a-1）x+a+b+1]，
故方程x2+（a-1）x+a+b+1=0的两个根为
，
，
则
，即4（a+b+1）=（a+1）2．
（或利用判别式△=0）
（2）由题意可知x1，x2是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点，则x1，x2是函数f'（x）=3x2+2ax+b=0的两个根．
故x1+x2=-
，x1x2=
，△=4a2-2b＞0，
所以△=4a2-3（a-1）2+12=（a+3）2，
所以|x1-x2|=
，而2
=-(a-1)，
得a=-1-2
∈(-3，-1)，
故|x1-x2|∈(0，
)．
| t |
| t |
由f（1）=0得a+b+c=-1，即c=-a-b-1，
所以f（x）=x3+ax2+bx-（a+b+1）=（x-1）[x2+（a-1）x+a+b+1]，
故方程x2+（a-1）x+a+b+1=0的两个根为
| t |
| t |
则
|
（或利用判别式△=0）
（2）由题意可知x1，x2是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点，则x1，x2是函数f'（x）=3x2+2ax+b=0的两个根．
故x1+x2=-
| 2a |
| 3 |
| b |
| 3 |
所以△=4a2-3（a-1）2+12=（a+3）2，
所以|x1-x2|=
| |a+3| |
| 3 |
| t |
得a=-1-2
| t |
故|x1-x2|∈(0，
| 2 |
| 3 |
点评：本题主要考查利用函数的导数研究函数的极值问题，综合性较强．
练习册系列答案
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，y=
（x+
）（x＞0），其中第二个函数和第三个函数中的t为同一常数，且0＜t＜1，它们各自的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根．
，②y=sinx+
（0＜x＜π），③y=log3x+logx81（x＞1），其中函数的最小值为4的函数是（ ）