题目内容

对于定义在集合D上的函数y=f(x),若f(x)在D上具有单调性,且存在区间[a,b]⊆D,使当x∈[a,b]时,f(x)的值域是[a,b],则称函数f(x)是D上的正函数,区间[a,b]称为f(x)的“等域区间”.已知函数f(x)=是[0,+∞)上的正函数,则f(x)的等域区间为   
【答案】分析:因为f(x)=在[0,+∞)上是增函数,所以当x∈[a,b],f(x)的值域是[f(a),f(b)],由此能求出f(x)的等域区间.
解答:解:因为f(x)=在[0,+∞)上是增函数,
所以当x∈[a,b],f(x)的值域是[f(a),f(b)],
又f(x)=是[0,+∞)上的正函数,
,即
解得a=0,b=1,
∴f(x)的等域区间为[0,1].
故答案为:[0,1].
点评:本题考查函数恒成立的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,有一定难度,是高考的重点.
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