题目内容

对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使当x∈[a，b]时，
f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
（1）已知函数f(x)=
x
是[0，+∞）上的正函数，试求f（x）的等域区间．
（2）试探究是否存在实数k，使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析：（1）因为f(x)=
x
在[0，+∞）上是增函数，所以当x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，由此能求出f（x）的等域区间．
（2）设存在实数k，使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上为减函数．当x∈[a，b]时，g（x）的值域是[g（a），g（b）]，若函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数，则
g(a)=b
g(b)=a
．由此能够导出存在实数k∈(-1，-
3
4
)，使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数．
解答：解：（1）因为f(x)=
x
在[0，+∞）上是增函数
所以当x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，
又f(x)=
x
是[0，+∞）上的正函数
∴
f(a)=a
f(b)=b
b＞a≥0
⇒
a
=a
b
=b
b＞a≥0
，
∴a=0，b=1，
∴f（x）的等域区间为[0，1]．…（4分）
（2）设存在实数k，使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上为减函数．
∴当x∈[a，b]时，g（x）的值域是[g（a），g（b）]，
若函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数，
则
g(a)=b
g(b)=a
，
即
a2+k=b
b2+k=a
⇒a2-b2=b-a，
∵a≠b，∴a+b=-1即b=-a-1，
∵a＜b＜0即a＜-a-1＜0⇒-1＜a＜-
1
2
…（8分）
∴关于a的方程a2+a+k+1=0在区间(-1，-
1
2
)内有实根，
由a2+a+k+1=0得k+1=-a2-a…（10分），
∵函数y=-a2-a在(-1，-
1
2
)上为增函数，
∴当a∈(-1，-
1
2
)时，y=-a2-a∈(0，
1
4
)…（12分）
∴k+1∈(0，
1
4
)即k∈(-1，-
3
4
)
故存在实数k∈(-1，-
3
4
)使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数…（14分）
点评：本题考查函数恒成立的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
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x
是[0，+∞）上的正函数，则f（x）的等域区间为
[0，1]
[0，1]
．
对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b）使当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
（1）已知函数f（x）=x3是正函数，试求f（x）的所有等域区间；
（2）若g(x)=
x+2
+k是正函数，试求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数a，b（a＜b＜1）使得函数f(x)=|1-
1
x
|是[a，b]上的“正函数”？若存在，求出区间[a，b]，若不存在，说明理由．
对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性，且存在区间[a，b]⊆D，使当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．已知函数f（x）=是[0，+∞）上的正函数，则f（x）的等域区间为    ．
对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使当x∈[a，b]时，
f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
（1）已知函数是[0，+∞）上的正函数，试求f（x）的等域区间．
（2）试探究是否存在实数k，使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

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