题目内容
设椭圆
的右焦点为
，直线
与
轴交于点
，若
（其中
为坐标原点）．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
是椭圆上的任意一点，
为圆
的任意一条直径（
、
为直径的两个端点），求
的最大值．
【答案】
（1）
（2）11
【解析】
试题分析：
（1）根据题意求出
的坐标
与A点的坐标，带入式子
，即可求出a的值，进而得到椭圆M的方程.
（2）设圆
的圆心为
，则可以转化所求内积，
，故求求
的最大值转化为求
的最大值．N点为定点且坐标已知，故设出P点的坐标且满足椭圆方程，带入坐标公式利用二次函数求最值的方法即可求出NP的最值，此外还可以利用参数方程来求解NP的最值.
试题解析：
（1）由题设知，
，
， 1分
由
，得
． 2分
解得
． 3分
所以椭圆
的方程为
． 4分
（2）方法1：设圆的圆心为，
则 5分
6分
． 7分
从而求的最大值转化为求的最大值． 8分
因为
是椭圆上的任意一点，设
， 9分
所以
，即
． 10分
因为点
，所以
． 11分
因为
，所以当
时，取得最大值12． 13分
所以的最大值为11． 14分
方法2：设点
，
因为
的中点坐标为
，所以
5分
所以
6分
． 8分
因为点
在圆
上，所以
，即
． 9分
因为点
在椭圆
上，所以
，即
． 10分
所以
． 12分
因为
，所以当
时，
． 14分
方法3：①若直线
的斜率存在，设的方程为
， 5分
由
，解得
． 6分
因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即 7分
所以
，
8分
所以
． 9分
因为，所以当时，取得最大值11． 11分
②若直线的斜率不存在，此时的方程为
，
由
，解得
或
．不妨设，
，
． 12分
因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即．
所以
，
．
所以
．
因为，所以当时，取得最大值11． 13分
综上可知，的最大值为11． 14分
考点：椭圆 最值 向量内积
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的离心率为
，直线
:
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
，右焦点
，直线
过点
垂
，线段
垂直平分线交
，求点
的方程；
轴上时，在曲线
的离心率为
，
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切。
过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直
垂直
的离心率为
，
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切。
过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直
垂直
，斜率为1的直L与椭C交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点．
，直线l过点M（b，0），且
，求椭圆C的方程；
=λ（
+
）（λ＞0），若点P在椭C上，λ的取值范围．