题目内容

椭圆C的方程 $数学公式$ ，斜率为1的直L与椭C交于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点．
（Ⅰ）若椭圆的离心率 $数学公式$ ，直线l过点M（b，0），且 $数学公式$ ，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l过椭圆的右焦点F，设向量 $数学公式$ =λ（ $数学公式$ + $数学公式$ ）（λ＞0），若点P在椭C上，λ的取值范围．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ ，∴a=2b，c= $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，B（0，-b）．
∵ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ，b²=4，a²=16．
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．（5分）
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，
得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0，
$\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∵点P在椭圆C上，将点P坐标代入椭圆方程中得 $\text{[math]}$ ．
∵b²+c²=a²，0＜e＜1，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，知a=2b，c= $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，B（0，-b）．再由 $\text{[math]}$ 能推导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0，由韦达定理知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．再由点P在椭圆C上，知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，由此能导出λ的取值范围．
点评：本题考查椭圆方程的求法和求实数λ的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．