题目内容
3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,数列{bn}中,b1=1,且点(bn+1,bn)在直线y=x-1上.(Ⅰ)证明:数列{an+3}为等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(Ⅲ)若cn=an+3,求数列{bncn}的前n项和Sn.
分析 (I)由an+1=2an+3,变形为an+1+3=2(an+3),即可证明;
(II)由(1)可得:an+3=4×2n-1,可得an.由于点(bn+1,bn)在直线y=x-1上.bn=bn+1-1,利用等差数列的通项公式即可得出.
(III)cn=an+3=2n+1,可得bncn=n•2n+1.再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
解答 (I)证明:∵an+1=2an+3,变形为an+1+3=2(an+3),
∴数列{an+3}为等比数列,首项为4,公比为2;
(II)解:由(1)可得:an+3=4×2n-1,∴an=2n+1-3.
∵点(bn+1,bn)在直线y=x-1上.
∴bn=bn+1-1,化为bn+1-bn=1,
∴数列{bn}是等差数列,首项为1,公差为1.
∴bn=1+(n-1)=n.
(III)解:cn=an+3=2n+1,
∴bncn=n•2n+1.
∴数列{bncn}的前n项和Sn=1×22+2×23+3•24…+n•2n+1.
∴2Sn=23+2×24+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2,
∴-Sn=22+23+…+2n+1-n•2n+2=$\frac{4({2}^{n}-1)}{2-1}$-n•2n+2=(1-n)•2n+2-4,
∴Sn=(n-1)•2n+2+4.
点评 本题考查了递推公式、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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