Question

已知圆C在x轴上的截距为-1和3，在y轴上的一个截距为1．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点(2 ，

3

-1)的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角；
（3）求过原点且被圆C截得的弦长最短时的直线l′的方程．

Answer 1

分析：（1）设圆C与x轴的交点为A和B，与y轴的交点为C，由圆C与x轴及y轴的截距，得出圆上三点的坐标A，B及C的坐标，进而确定出线段AB及线段AD的中垂线方程，联立两中垂线方程组成方程组，求出方程组的解得到圆心C的坐标，再由C和D的坐标，利用两点间的距离公式求出半径r，写出圆C的标准方程即可；
（2）分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，直线l到圆心的距离为2，满足题意，可得出此时直线l的倾斜角为90°；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，由直线l过（2，

3

-1），表示出直线l的方程，再由弦长及圆的半径，求出圆心到直线l的距离，然后利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，利用直线倾斜角与斜率的关系求出此时直线l的倾斜角，综上，得到所有满足题意的直线l的倾斜角；
（3）当过原点且被圆C截得的弦长最短时，即为与直径OC垂直的弦，由O和C的坐标求出直线OC的斜率，确定出直线OC的方程，即为第二、四象限的角平分线，可得出直线l′为第一、三象限的角平分线，确定出直线l′的方程．

解答：解：（1）设A（-1，0），B（3，0），D（0，1），
则AB中垂线为x=1，AD中垂线为y=-x，
∴圆心C（x，y）满足

x=1 y=-x

，
∴C（1，-1），半径r=|CD|=

(1-0)2+(-1-1)2

=

5

，
则圆C的标准方程为（x-1）²+（y+1）²=5；            
（2）当斜率不存在时，直线l：x=2到圆心的距离为1，亦满足题意，直线l的倾斜角为90°；
当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2）+

3

-1，由弦长为4，
∴圆心（1，-1）到直线l的距离为

5-4

=1，即

|k(1-2)+1+ 3 -1|

1+k2

=1，
解得：k=

3

3

，此时直线l的倾斜角为30°，
综上所述，直线l的倾斜角为30°或90°；          
（3）∵O（0，0），C（1，-1），
∴k_OC=

-1

1

=-1，直线OC的方程为y=-x，
∴直线l'：y=x．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，涉及的知识有：待定系数法求圆的方程，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，直线斜率与倾斜角的关系，垂径定理，以及勾股定理，利用了转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的题．