Question

已知圆C在x轴上的截距为-1和3，在y轴上的一个截距为1．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点(2 ，  

3

-1)的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析：（1）由圆心公式求得圆心应该在x=1这条直线上． 设：圆心为（1，y）进而根据到（-1，0）的距离=到（0，1）的距离求得y，则圆心可知，根据点与点之间的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可得．
（2）先看直线斜率不存在时，求得弦长为4符合题意，此时倾斜角为90°在看直线斜率存在时，设出直线方程，根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而求得斜率k，则直线的倾斜角可求．

解答：解：（1）由圆心公式：

1

2

（x₁+x₂）=

1

2

（-1+3）=1
圆心应该在x=1这条直线上．
设：圆心为（1，y），到（-1，0）的距离=到（0，1）的距离：
∴（1+1）²+y²=1²+（y-1）²
解得y=-1
∴圆心为（1，-1）
∴r²=（1+1）²+y²=4+1=5
∴圆的方程为：
（x-1）²+（y+1）²=5
（2）当直线斜率不存在时即直线与x轴垂直时，把x=2代入圆方程求得y=1或-3，
∴|AB|=1+3=4符合题意
当直线斜率存在时，设直线方程为y-

3

+1=k（x-2）
由直线l被圆C截得的弦AB的长为4，圆的半径为

5

可求得圆心到直线的距离为

5-4

=1
∵圆心到直线的距离d=

|k+1-2k+ 3 -1|

k2+1

=1求得k=

3

3

∴倾斜角的正切为

3

3

，倾斜角为30°

点评：本题主要考查了圆与直线方程的应用．考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式．