题目内容

已知α,β是三次函数f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx
的两个极值点,且α∈(0,1),β∈(1,2),则
b-2
a-1
的取值范围是(  )
A、(
1
4
,1)
B、(
1
2
,1)
C、(-
1
2
1
4
)
D、(-
1
2
1
2
)
分析:由已知中α,β是三次函数f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx
的两个极值点,且α∈(0,1),β∈(1,2),我们易得f′(x)=x2+ax+2b的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上,由零点存在定理,我们易构造关于a,b的不等式组,将问题转化为一个线性规划问题,分析
b-2
a-1
的几何意义,即可根据数形结合求出答案.
解答:精英家教网解:∵函数f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx

∴f′(x)=x2+ax+2b
又∵α∈(0,1),β∈(1,2),
f′(0)=2b>0
f′(1)=1+a+2b<0
f′(2)=4+2a+2b>0

其对应的平面区域如下图所示:
由图可得:当x=-3,y=1时,
b-2
a-1
取最小值
1
4

当x=-1,y=0时,
b-2
a-1
取最大值1;
故选A
点评:本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件,其中根据函数在某点取得极值的条件,将问题转化为函数的零点问题,再根据零点存在定理,将问题转化为线性规划问题是解答本题的关键.
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