Question

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2c-a}{b}$．
（Ⅰ）求证：sinC=2sinA；
（Ⅱ）若cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理可得：$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2sinC-sinA}{sinB}$，整理后由两角和的正弦函数公式即可得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：c=2a，①，由余弦定理可得：4=${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{1}{2}ac$，②，由①②解得a，c的值，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由 $\frac{cosA-2cosC}{cosB}=\frac{2c-a}{b}$，
利用正弦定理可得 $\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2sinC-sinA}{sinB}$，
∴sinBcosA-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，
∴sinBcosA+cosBsinA=2（sinBcosC+cosBsinC），
∴sin（B+A）=2sin（B+C），即 sinC=2sinA，得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：c=2a，①
∵cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，
∴由余弦定理可得：4=${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{1}{2}ac$，②
∴由①②解得：a=1，c=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×1×2×$$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．