题目内容

设定义在R+上的函数y＝f(x)，对于任意正数x、y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当x＞1时，f(x)＜0，f(3)＝－1．

(1)求f(1)和f的值；

(2)若不等式f(x)＋f(2－x)＜2成立，求x的取值范围；(提示：x2－2x＋＜01－＜x＜1＋)

(3)若存在正数k，使不等式f(kx)＋f(2－x)＜2有解，求正数k的取值范围．

答案：
解析：

　　(1)f(1)＝0，f＝2．

　　(2)x的取值范围是．

　　(3)不等式f(kx)＋f(2－x)＜2(k＞0)可转化为kx(2－x)＞(k＞0)，且0＜x＜2，则当0＜x＜2时，要使不等式k＞有解，只需满足k＞，又当0＜x＜2时，[x(2－x)]max＝1，故k＞．


练习册系列答案
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设定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：①函数f（x）的图象过点P（3，-6）；②函数f（x）在x1、x2处取得极值，且|x1-x2|=4；③函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若α，β∈R，求证：|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤
643
；
（3）求过点P（3，-6）与函数f（x）的图象相切的直线方程．
给出以下命题：
①函数f（x）=|log2x2|既无最大值也无最小值；
②函数f（x）=|x2-2x-3|的图象关于直线x=1对称；
③向量
AB
与向量
CD
共线，则A，B，C，D四点共线；
④若函数f（x）满足|f（-x）|=|f（x）|，则函数f（x）或是奇函数或是偶函数；
⑤设定义在R上的函数f（x）满足对任意x1，x2∈R，x1＜x2有f（x1）-f（x2）＜x1-x2恒成立，则函数F（x）=f（x）-x在R上递增．
其中正确的命题是
②④⑤
②④⑤
（写出所有真命题的序号）
设定义在R上的函数f（x）满足对?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，则{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素个数为
0或1
0或1
．
设定义在R上的函数f（x）满足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），当x∈[-
π
2
，
π
2
]时，0＜f（x）＜1；当x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0时，x•f′（x）＜0，则y=f（x）与y=cosx的图象在[-2π，2π]上的交点个数是（　　）
设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x+1）=-f（x）对任意的x都成立；②当x∈[0，1]时，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然对数的底数，m是常数）．记f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为n，则（　　）
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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