题目内容
定义：数列{an}对一切正整数n均满足
＞an+1，称数列{an}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：
（1）等差数列{an}一定是凸数列
（2）首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{an}一定是凸数列
（3）若数列{an}为凸数列，则数列{an+1-an}是单调递增数列
（4）凸数列{an}为单调递增数列的充要条件是存在n0∈N*，使得an0+1＞an0
其中正确说法的个数是______．
| an+an+2 |
| 2 |
（1）等差数列{an}一定是凸数列
（2）首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{an}一定是凸数列
（3）若数列{an}为凸数列，则数列{an+1-an}是单调递增数列
（4）凸数列{an}为单调递增数列的充要条件是存在n0∈N*，使得an0+1＞an0
其中正确说法的个数是______．
（1）由等差数列{an}的性质可得：
=an+1，不满足
＞an+1，因此不是“凸数列”．
（2）∵首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{an}，
∴an=a1qn-1＞0．
∴
=
=an•
＞anq=an+1．因此是“凸数列”．故正确．
（3）∵数列{an}为凸数列，∴数列{an}对一切正整数n均满足
＞an+1，
∴an+2-an+1＞an+1-an，
∴数列{an+1-an}是单调递增数列．因此正确．
（4）①凸数列{an}为单调递增数列可得对于任意的n0∈N*，都有an0+1＞an0；
②对于凸数列{an}存在n0∈N*，使得an0+1＞an0．
则an0+2-an0+1＞2an0+1-an0-an0+1=an0+1-an0＞0．
如果n0＞1，则此数列不一定是递增数列．
因此（4）不正确．
综上可知：只有（2）（3）正确．
故答案为：2．
| an+an+2 |
| 2 |
| an+an+2 |
| 2 |
（2）∵首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{an}，
∴an=a1qn-1＞0．
∴
| an+an+2 |
| 2 |
| an+anq2 |
| 2 |
| 1+q2 |
| 2 |
（3）∵数列{an}为凸数列，∴数列{an}对一切正整数n均满足
| an+an+2 |
| 2 |
∴an+2-an+1＞an+1-an，
∴数列{an+1-an}是单调递增数列．因此正确．
（4）①凸数列{an}为单调递增数列可得对于任意的n0∈N*，都有an0+1＞an0；
②对于凸数列{an}存在n0∈N*，使得an0+1＞an0．
则an0+2-an0+1＞2an0+1-an0-an0+1=an0+1-an0＞0．
如果n0＞1，则此数列不一定是递增数列．
因此（4）不正确．
综上可知：只有（2）（3）正确．
故答案为：2．
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=1,则a-b<1;
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对于任意
，有
，若
，则
．