Question

【题目】已知椭圆.

（1）若椭圆的右焦点坐标为，求的值；

（2）由椭圆上不同三点构成三角形称为椭圆的内接三角形.若以为直角顶点的椭圆的内接等腰直角三角形恰有三个，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）本问考查椭圆标准方程，先将椭圆方程化为标准形式， ，根据右焦点为，则，可以求出的值；（2）本问考查直线与椭圆位置关系，由题分析，则，因此BA所在直线斜率存在且不为0，可设的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，根据弦长公式求出，同理BC所在直线方程为，同理求出，根据等腰直角三角形有，整理得到关于的关系式，转化为以为变量的方程有两个不相等的正实根问题，求的取值范围.

试题解析：(1)椭圆的方程可以写成，因为焦点在轴上，所以，求得.

(2)设椭圆内接等腰直角三角形的两直角边分别为设，显然与不与坐标轴平行，且，所以可设直线的方程为，则直线的方程为，由，消去得到，所以，求得.同理可求，因为为以为直角顶点的等腰直角三角形，所以.所以，整理得

，所以，由此

，所以或，设，因为以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个，所以关于的方程有两个不同的正实根，且都不为.所以，解得实数的取值范围是.