Question

12．现有7名男生，5名女生中．
（1）选出5人，其中A，B两名学生必须当选，有多少种不同的选法？
（2）选出5人，其中A，B两名学生都不当选，有多少种不同的选法？
（3）选出5人，其中至少有两名女生当选，有多少种不同的选法？
（4）选出5人，分别去担任语、数、外、理、化五科科代表，但语文科代表由男生担任，外语科代表由女生担任，有多少种不同的选派方法？

Answer 1

分析 （1）根据题意，先选出A、B，再从其它10个人中再选3人即可，由组合数公式计算可得答案；
（2）根据题意，只需从其它10人中任选5人即可，由组合数公式计算可得答案；
（3）根据题意，用间接法，先计算从12人中任选5人的选法数目，再分别计算①没有女学生入选，②只有1名女生入选，在总数中将其排除即可得答案；
（4）根据题意，分3步进行，①选出一个男生担任语文科代表，②再选出1名女生担任外语科代表，③剩下的10人中任取3人担任其它3科科代表，先求出每一步的选法数目，再用分步计数原理可得即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，先选出A、B，再从其它10个人中再选3人即可，共有的选法种数为C₁₀³=120种，
（2）根据题意，A、B都不当选，只需从其它10人中任选5人即可，共有的选法种数为C₁₀⁵=252种：
（3）根据题意，从12人中任选5人，有C₁₀⁵种选法，
没有女学生入选，即全选男生的情况有C₇⁵种情况，
只有1名女生入选，即选取1女4男，有C₅¹×C₇⁴种选法，
故所有符合条件选法数为：C₁₀⁵-C₇⁵-C₅¹×C₇⁴=596种，
（4）选出一个男生担任语文科代表，有C₇¹种情况，
再选出1名女生担任外语科代表，有C₅¹种情况，
剩下的10人中任取3人担任其它3科科代表，有C₁₀³种情况，
用分步计数原理可得到所有方法总数为：C₇¹×C₅¹×C₁₀³×A₃³=25200种．

点评 本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．