Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=

2

，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁、BC的中点．
（1）证明：C₁F∥平面ABE；
（2）若P是线段BE上的点，证明：平面A₁B₁C⊥平面C₁FP；
（3）若P在E点位置，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

Answer 1

分析：（1）取AB中点G，连接GF、GE，可以证出四边形EGFC₁为平行四边形，从而得到C₁F∥EG，最后结合线面平行判定定理，可得C₁F∥平面ABE．
（2）根据线面垂直的判定与性质和题中的直三棱柱性质，证出A₁B₁⊥C₁F且B₁C⊥C₁F，从而得到C₁F⊥平面A₁B₁C，结合C₁F?平面C₁FP，可得平面A₁B₁C⊥平面C₁FP．
（3）根据E是A₁C₁的中点，得到E到平面BCC₁B₁的距离是A₁到平面BCC₁B₁的距离一半，得到以△B₁C₁F为底的高等于

1

2

A₁B₁=

3

，算出△B₁C₁F的面积并结合锥体体积公式，可算出三棱锥P-B₁C₁F的体积．

解答：解：（1）取AB中点G，连接GF、GE，
∵F为BC中点，∴FG∥AC，且FG=

1

2

AC
而由三棱柱可得，C₁E∥AC，且C₁E=

1

2

AC，∴FG∥C₁E且FG=C₁E
∴四边形EGFC₁为平行四边形，得C₁F∥EG，
∵EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE．…（5分）
（2）△ABC中，AC=4，CB=2，∠ACB=60°，
可求得AB=2

3

且∠ABC=90°即AB⊥BC
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC≌△A₁B₁C₁，∴∠A₁B₁C₁也为90°，即A₁B₁⊥B₁C₁，
又由直三棱柱可得BB₁⊥底面A₁B₁C₁，∴BB₁⊥A₁B₁，
∵BB₁∩B₁C₁=B₁，BB₁、B₁C₁?侧面B₁C₁CB，∴A₁B₁⊥侧面B₁C₁CB结合C₁F?侧面B₁C₁CB，得A₁B₁⊥C₁F；
在侧面矩形B₁C₁CB中，BB₁=

2

，BC=2，F为BC中点
∴△C₁CF∽△CBB₁，从而得∠BCB₁=∠FC₁C
∴∠C₁FC+∠BCB₁=∠C₁FC+∠FC₁C=90°，即B₁C⊥C₁F；
又∵A₁B₁∩B₁C=B₁，A₁B₁?平面A₁B₁C，B₁C?平面A₁B₁C，
∴C₁F⊥平面A₁B₁C
又∵C₁F?平面C₁FP，
∴平面A₁B₁C⊥平面C₁FP．…（12分）
（3）∵P在E点位置，三棱锥P-B₁C₁F即为三棱锥E-B₁C₁F
∵E是A₁C₁的中点，∴E到平面BCC₁B₁的距离是A₁到平面BCC₁B₁的距离一半
又∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，且A₁B₁=2

3

，∴P到平面BCC₁B₁的距离d=

1

2

A₁B₁=

3

而在矩形BCC₁B₁中，S_△B1C1F=

1

2

S_矩形BCC1B1=

2

∴V_三棱锥=

1

3

×S_△B1C1F×d=

6

3

…（16分）

点评：本题以特殊的直三棱柱为载体，求证线面平行、面面垂直，并求锥体的体积．着重考查了直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定和棱锥的体积等知识，属于中档题．