Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）有两个零点；
（2）若x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），证明方程f(x)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=0在区间（x₁，x₂）内有一个实根．

Answer 1

分析：（1）利用不等式的基本性质和判别式即可判断方程f（x）=0有两个不相等的实数根即可证明；
（2）构造一个函数，利用函数零点的判定定理即可证明．

解答：证明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0，
又∵a＞b＞c，∴3a＞a+b+c＞3c，即a＞0＞c．
∴a＞0，c＜0，即ac＜0，
∴△=b²-4ac≥-4ac＞0，
∴方程ax²+bx+c=0有两个不等实根，∴f（x）有两个零点． 
（2）设g(x)=f(x)-

1

2

[f(x1)+f(x2]，
则g(x1)=f(x1)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

[f(x1)-f(x2)]，
g(x2)=f(x2)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

[f(x2)-f(x1)]，
g(x1)•g(x2)=

1

2

[f(x1)-f(x2)]•

1

2

[f(x2)-f(x1)]=-

1

4

[f(x1)-f(x2)]2，
∵f（x₁）≠f（x₂），∴g（x₁）•g（x₂）＜0，
又函数g（x）在区间[x₁，x₂]上的图象是连续不断的一条曲线，由函数零点的判定定理可得：
g（x）=0在（x₁，x₂）内有一个实根．

点评：本小题主要考查函数的零点、不等式的基本性质等基础知识，考查化归转化、构造函数的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力．