题目内容

(B题)设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a,b,c,d∈R).
(1)若f(x)=(1-2x)3,求3a+2b+c-d的值;
(2)若,y=f(x)在x=0处取得极值-1,且过点(0,0)可作曲线y=f(x)的三条切线,求b的取值范围.
【答案】分析:(1)由于函数f(x)=ax3+bx2+cx+d=(1-2x)3,则导函数也相等,令x=1,则可得3a+2b+c的值,再由二项式定理得到d,即可求3a+2b+c-d的值;
(2)由(1)及,y=f(x)在x=0处取得极值-1,可得c,d的值,设切点,求切线方程,得到
要求过点(0,0)可作曲线y=f(x)的三条切线,即求有三个零点,
即是函数的极大值大于0或极小值小于0,即可求得实数b的取值范围.
解答:解:(1)∵f(x)=(1-2x)3=ax3+bx2+cx+d,
对此等式两边同时求导数得:3(1-2x)2(-2)=3ax2+2bx+c,
令x=1得:3a+2b+c=-6,又由二项式定理知d=1
故3a+2b+c-d=-6-1=-7…(6分)
(2)∵f′(x)=x2+2bx+c,由题意可得f′(0)=0,f(0)=-1,解得c=0,d=-1
经检验,f(x)在x=0处取得极大值.∴…(8分)
设切点为(x,y),则切线方程为
即为…(9分)
因为切线方程为
把(0,0)代入可得
因为有三条切线,故方程有三个不同的实根.…(11分)

∵g′(x)=2x2+2bx,令g′(x)=2x2+2bx=0,可得x=0和x=-b
x(-∞,0)(0,-b)-b(-b,+∞)
g′(x)++
g(x)极大值极小值
因为方程有三个根,故极小值小于零,,所以…(14分)
点评:此题主要考查多项式函数的导数,利用导数研究曲线上某点的切线方程,及函数极值等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,难度不大.
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