题目内容
(本小题满分13分)
质点在
轴上从原点
出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为
，移动2个单位的概率为
，设质点运动到点
的概率为
.
（Ⅰ）求
和
；
（Ⅱ）用
表示，并证明
是等比数列；
（Ⅲ）求.
质点在
轴上从原点出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到点的概率为.（Ⅰ）求
和；（Ⅱ）用
表示，并证明是等比数列；（Ⅲ）求
.（Ⅰ）P1=，
（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）
，（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）
（Ⅰ）P1=，
（Ⅱ）由题意可知，质点到达点（n,0），可分两种情形，由点（n-1,0）右移1个单位或由点（n-2,0）右移2个单位，故由条件可知：
（n≥3）
上式可变形为
是以
为公比的等比数列。
其首项P2－P1=
（Ⅲ）由（Ⅱ）知Pn－Pn－1=
（n≥2）
∴
，（Ⅱ）由题意可知，质点到达点（n,0），可分两种情形，由点（n-1,0）右移1个单位或由点（n-2,0）右移2个单位，故由条件可知：
（n≥3）上式可变形为
是以为公比的等比数列。其首项P2－P1=
（Ⅲ）由（Ⅱ）知Pn－Pn－1=
（n≥2）∴
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，
，