Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于，两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点.

【解析】

试题分析：（1）将点代入椭圆方程得，由得，则，联立方程得解；（2）分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率不存在时，直接代入得解；当斜率存在时，联立直线和椭圆的方程得，结合韦达定理，运用整体代换的思想化简得，可得其恒过定点.

试题解析：（1）∵椭圆过点，∴① ，

∵，∴，则，

∴②，由①②得，

∴椭圆的方程为

（2）当直线的斜率不存在时 ，设，则，由得，得

当直线的斜率存在时，设的方程为，

，

得，

，

即，

由，

即．

故直线过定点．