Question

已知圆C：x²+y²-8x=0与直线l：y=-x+m，
（1）m=1时，判断直线l与圆C的位置关系；
（2）若直线l与圆C相切，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心C的坐标和半径r，当m=1时，利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离d，判定d与r的大小即可确定出直线l与圆C的位置关系；
（2）联立直线l与圆的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，由直线与圆相切时只有一个公共点，得到跟的判别式等于0，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）由x²+y²-8x=0得（x-4）²+y²=4²
所以圆心C（4，0），半径r=4（2分）
m=1时圆心C到直线l的距离为d=

|4+0-1|

12+12

=

3 2

2

（4分）
因为d＜r（5分）
所以直线l：y=-x+1与圆C相交于两点（6分）
（2）联立方程组

y=-x+m x2+y2-8x=0

，
消去y，化简得2x²-（2m+8）x+m²=0（8分）
要使直线l与圆C相切，则有△=（2m+8）²-8m²=0（10分）
即m²-8m-16=0，解得：m=4±4

2

（12分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生掌握点到直线的距离公式．圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，直线与圆的位置关系为相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．