题目内容

已知直线C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
(t为参数），C2：
x=cosθ
y=sinθ
(θ为参数）．
（1）当α=
π
3
时，求C1被C2截得的弦长；
（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点的轨迹的参数方程．
（1）C1的普通方程为y=
3
(x-1)，C2的普通方程为x2+y2=1，…（2分）
∴圆心O到直线C1的距离d=
3
2
，
∴C1被C2截得的弦长2
1-
3
4
=1． …（4分）
（2）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0，
∴直线OA：y=-
cosα
sinα
x，…（6分）
由
xsinα-ycosα-sinα=0
y=-
cosα
sinα
x
得A（sin2α，-sinαcosα）…（8分）
∴A点的轨迹的参数方程
x=sin2α
y=-sinαcosα
(α为参数）．                …（10分）
练习册系列答案
相关题目
已知直线C1：
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
4
t
（t为参数），曲线C2：ρ=
2
cos（θ+
π
4
）．
（Ⅰ）求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线C1被曲线C2所截的弦长．
已知直线C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
(t为参数），C2：
x=cosθ
y=sinθ
(θ为参数）．
（1）当α=
π
3
时，求C1被C2截得的弦长；
（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点的轨迹的参数方程．
（1）已知直线C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t为参数），C2：
x=cosθ
y=sinθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）当α=
π
3
时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（2）已知正实数a、b、c满足a2+4b2+c2=3．
（I）求a+2b+c的最大值；
（II）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求实数x的取值范围．
选修4-4；坐标系与参数方程
已知直线C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t为参数），C2：ρ=1．
（Ⅰ）当α=
π
3
时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）以坐标原点O为圆心的圆与C1的相切，切点为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中．
（1）选修4一2：矩阵与变换
设矩阵M所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M-1以及椭圆
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲线的方程．
（2）选修4一4：坐标系与参数方程
已知直线C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t为参数），C2：
x=cosθ
y=sinθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）当α=
π
3
时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求
4a+1
+
4b+1
+
4c+1
的最大值．

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