Question

已知直线C1：

x=1+tcosα y=tsinα

(t为参数），C2：

x=cosθ y=sinθ

(θ为参数）．
（1）当α=

π

3

时，求C₁被C₂截得的弦长；
（2）过坐标原点O作C₁的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点的轨迹的参数方程．

Answer 1

分析：（1）先消去参数将曲线C₁与C₂的参数方程化成普通方程，再利用圆的性质结合圆心O到直线C₁的距离，求出C₁被C₂截得的弦长即可，
（2）C₁的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0，利用两线的垂直关系得出直线OA的方程，再联立两直线的方程求出交点的坐标，即得A点轨迹的参数方程．

解答：解：（1）C₁的普通方程为y=

3

(x-1)，C₂的普通方程为x²+y²=1，…（2分）
∴圆心O到直线C₁的距离d=

3

2

，
∴C₁被C₂截得的弦长2

1- 3 4

=1． …（4分）
（2）C₁的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0，
∴直线OA：y=-

cosα

sinα

x，…（6分）
由

xsinα-ycosα-sinα=0 y=- cosα sinα x

得A（sin²α，-sinαcosα）…（8分）
∴A点的轨迹的参数方程

x=sin2α y=-sinαcosα

(α为参数）．                …（10分）

点评：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．