题目内容
（1）已知直线C1：
（t为参数），C2：
（θ为参数）．
（Ⅰ）当α=
时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（2）已知正实数a、b、c满足a2+4b2+c2=3．
（I）求a+2b+c的最大值；
（II）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求实数x的取值范围．
|
|
（Ⅰ）当α=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（2）已知正实数a、b、c满足a2+4b2+c2=3．
（I）求a+2b+c的最大值；
（II）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求实数x的取值范围．
分析：（1）（Ⅰ）分别消去直线C1、曲线C2参数，Z在把α代入联立即可得出；
（Ⅱ）由直线OA⊥直线C1，可得出直线OA的方程，与直线C1的方程联立即可求出点A的坐标，再利用中点坐标公式即可求出线段OA的中点P的参数方程．
（2）（Ⅰ）利用柯西不等式即可求出；
（Ⅱ）对于满足条件的正实数a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立?|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）max，利用（Ⅰ）的结论，再解出绝对值的不等式即可得出x的取值范围．
（Ⅱ）由直线OA⊥直线C1，可得出直线OA的方程，与直线C1的方程联立即可求出点A的坐标，再利用中点坐标公式即可求出线段OA的中点P的参数方程．
（2）（Ⅰ）利用柯西不等式即可求出；
（Ⅱ）对于满足条件的正实数a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立?|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）max，利用（Ⅰ）的结论，再解出绝对值的不等式即可得出x的取值范围．
解答：解：（1）（Ⅰ）由直线C1：
消去参数t得y=tanα（x-1），当α=
时，y=
(x-1)，
由曲线C2：
消去参数θ得x2+y2=1，
联立
，消去y化为2x2-3x+1=0，解得x=1或
，
分别代入y=
(x-1)解得y=0，-
，∴
或
，
∴C1与C2的交点坐标为（1，0），(
，-
)；
（Ⅱ）∵OA⊥直线C1，∴直线OA的方程为y=-
x，
联立
解得
．
当α时，由中点坐标公式可得点P的参数方程为
（α为参数）．
（2）（I）由柯西不等式得：（a2+4b2+c2）（1+1+1）≥（a+2b+c）2
又a、b、c为正实数，∴a+2b+c≤3．
当且仅当a=2b=c，即a=c=1，b=
时取等号．
∴（a+2b+c）max=3．
（II）若对于满足条件的正实数a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立．
则|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）max，
即|x-5|-|x-1|≥3．
记f（x）=|x-5|-|x-1|=
，
作函数的图象如图所示：
由-2x+6=3，得x=
，
由图象知，实数x满足的区间为(-∞，
]．
|
| π |
| 3 |
| 3 |
由曲线C2：
|
联立
|
| 1 |
| 2 |
分别代入y=
| 3 |
| ||
| 2 |
|
|
∴C1与C2的交点坐标为（1，0），(
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）∵OA⊥直线C1，∴直线OA的方程为y=-
| 1 |
| tanα |
联立
|
|
当α时，由中点坐标公式可得点P的参数方程为
|
（2）（I）由柯西不等式得：（a2+4b2+c2）（1+1+1）≥（a+2b+c）2
又a、b、c为正实数，∴a+2b+c≤3．
当且仅当a=2b=c，即a=c=1，b=
| 1 |
| 2 |
∴（a+2b+c）max=3．
（II）若对于满足条件的正实数a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立．
则|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）max，
即|x-5|-|x-1|≥3．
记f（x）=|x-5|-|x-1|=
|
作函数的图象如图所示：
由-2x+6=3，得x=
| 3 |
| 2 |
由图象知，实数x满足的区间为(-∞，
| 3 |
| 2 |
点评：熟练掌握把参数方程化为普通方程的方法、相互垂直的直线的斜率之间的关系、中点坐标公式、柯西不等式及恒成立问题的等价转化、解绝对值不等式的分类讨论方法是解题的关键．
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