Question

已知直线C₁：

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 4 t

（t为参数），曲线C₂：ρ=

2

cos（θ+

π

4

）．
（Ⅰ）求直线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线C₁被曲线C₂所截的弦长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把直线C₁的参数方程消去参数，化成普通方程，把曲线C₂的极坐标方程依据互化公式化为其普通方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线 C₂是以（

1

2

，-

1

2

）为圆心，半径为

2

2

的圆，求出圆心到直线的距离d的值，再利用弦长公式求得弦长．

解答：解：（Ⅰ）把直线C₁化成普通方程得3x+4y+1=0，
把曲线C₂：ρ=

2

cos（θ+

π

4

）化成 ρ²=ρcosθ-ρsinθ，
∴其普通方程为 x²+y²-x+y=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线 C₂是以（

1

2

，-

1

2

）为圆心，半径为

2

2

的圆，
∴圆心到直线的距离d=

| 3 2 - 4 2 +1|

9+16

=

1

10

，
∴弦长为 2

r2-d2

=

7

5

．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．