题目内容

如图,在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点在棱上,且满足.

(1)求证:
(2)在棱上确定一点,使四点共面,并求此时的长;
(3)求几何体的体积.

(1)详见解析;(2);(3).

解析试题分析:(1)连接,先由正方体的性质得到,以及平面,从而得到,利用直线与平面垂直的判定定理可以得到平面,于是得到;(2)假设四点四点共面,利用平面与平面平行的性质定理得到,于是得到四边形为平行四边形,从而得到的长度,再结合勾股定理得到的长度,最终得到的长度;(3)连接,由正方体的性质得到,结合(1)中的结论平面,得到
平面,然后选择以点为顶点,为高,四边形为底面的四棱锥,利用锥体的体积公式计算几何体的体积.
试题解析:(1)如下图所示,连接

由于为正方体,所以四边形为正方形,所以
平面
平面
平面
(2)如下图所示,假设四点共面,则四点确定平面

由于为正方体,所以平面平面
平面平面,平面平面
由平面与平面平行的判定定理得
同理可得,因此四边形为平行四边形,
中,
由勾股定理得
在直角梯形中,下底

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