题目内容
【题目】已知函数,其导函数
的两个零点为
和
.
(I)求曲线在点
处的切线方程;
(II)求函数的单调区间;
(III)求函数在区间
上的最值.
【答案】(I);(II)增区间是
,
,减区间是
;(III)最大值为
,最小值为
.
【解析】试题分析:(I)求出,由
解得
,根据导数的几何意义可得切线斜率,利用点斜式可得切线方程;(II)求出
,
得增区间,
得减区间;(III)根据(II)求出函数
的极值,与区间
端点出的函数值进行比较即可得结果.
试题解析:(I).
由知
,解得
从而
所以,
曲线在点
处的切线方程为
即.
(II)由于,当
变化时,
的变化情况如下表:
0 | 0 | ||||
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
故的单调增区间是
,
,单调减区间是
.
(III)由于
故函数在区间
上的最大值为
,最小值为
.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、导数的几何意义,属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数
的定义域;②对
求导;③令
,解不等式得
的范围就是递增区间;令
,解不等式得
的范围就是递减区间;④根据单调性求函数
的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).
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