题目内容
【题目】以坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)点在曲线
上,且曲线
在点
处的切线与直线:
垂直,求点
的直角坐标;
(2)设直线与曲线
有且只有一个公共点,求直线
的斜率的取值范围.
【答案】(1)点的坐标为
;(2)
.
【解析】
(1)求出曲线的普通方程,根据题意求出直线
的方程,再将直线
的方程与曲线
的方程联立,即可求得点
的坐标;
(2)设直线的方程为
(其中
为直线
的斜率),求出直线
与半圆
相切时直线
的斜率
的值,设点
,
,
,求出直线
、
的斜率,利用数形结合思想可求得直线
的斜率的取值范围.
(1)由,所以,曲线
的直角坐标方程为:
,
点
在曲线
上,且曲线
在点
处的切线与直线:
垂直,
直线
与直线:
平行,
直线
的斜率
,即
的方程为
,
由,得:
.
即点的坐标为
;
(2)将直线化为普通方程:
(
为直线
的斜率),
当直线与半圆
相切时,则有
.
,
或
,
设点,
,
,则
,
.
由图象知,当直线与半圆
相切时,则
,此时
.
因此,当直线与半圆
有且只有一个公共点时,直线
的斜率的取值范围是
.
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