题目内容
【题目】已知函数
（
）.
（1）证明：当
时，
在
上是增函数；
（2）是否存在实数
，只有唯一正数
，对任意正数
，使不等式
恒成立？若存在，求出这样的；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）存在实数
，
只有唯一值
，符合题意.
【解析】
（1）将
在
上是增函数转化为
在上恒成立，构造新函数利用导数求最值即可证明.
（2）将
恒成立转化为
恒成立，利用导数研究其单调性及最值，找到符合题意的正数的值.
证明：（1）
令
则
，因此
是增函数
故
，因此
是增函数
（2）取
，可知
，
令
由
得
①当
时，可得
在
递减，
是递增
令
因为存在唯一的正数，使得
故只能
得
在
上递减，在
上递增
得
，此时只有唯一值
②当
时，为增函数，
得
，故
当
时，满足
的不唯一
当
时，满足
的只能
，
但
时满足
且
因此时，值不唯一
故存在实数，只有唯一值，
当
时恒有
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