Question

18．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是线段EF的中点．用向量方法证明与解答：
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）试判断在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，设AC∩BD=N，连接NE，利用向量法能证明AM∥平面BDF．
（2）设P（t，t，0），（0≤t≤$\sqrt{2}$），由PF和AD所成的角是60°，利用向量法能求出在线段AC上中点P，使得直线PF与AD所成角为60°．

解答 （1）证明：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是线段EF的中点．
∴以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AC∩BD=N，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）、（0，0，1），
∴$\overrightarrow{NE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
A、M坐标分别是（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$）、（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，1$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{NE}$=$\overrightarrow{AM}$，且NE与AM不共线，∴NE∥AM．
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDF．
（2）解：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°．
理由如下：
设P（t，t，0），（0≤t≤$\sqrt{2}$），得$\overrightarrow{PF}$=（$\sqrt{2}-t，\sqrt{2}-t，1$），
∴$\overrightarrow{DA}$=（0，$\sqrt{2}$，0），
又∵PF和AD所成的角是60°．
∴cos60°=$\frac{|（\sqrt{2}-t）•\sqrt{2}|}{\sqrt{（\sqrt{2}-t）^{2}+（\sqrt{2}-t）^{2}+1}•\sqrt{2}}$，
解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或t=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（舍去），即点P是AC的中点．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．