题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求曲线
在点
的切线方程;
(2)对一切,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,试讨论
在
内的极值点的个数.
【答案】(1) ;(2)实数
的取值范围为
;
(3)当,
在
内的极值点的个数为1;当
时,
在
内的极值点的个数为0.
【解析】试题分析:(1)利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程,注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率
,最后把直线方程化成一般式;(2)利用导数方法证明不等式
在区间
上恒成立的基本方法是构造函数
,然后根据函数的单调性,或者函数的最值证明函数
,其中一个重要的技巧就是找到函数
在什么地方可以等于零,这往往就是解决问题的一个突破口,观察式子的特点,找到特点证明不等式;(3)对于恒成立的问题常采用分离参数的方法,常用到两个结论:(1)
,(2)
;(4)单调函数最多只有一个零点.
试题解析:解:(1) 由题意知,所以
又,
所以曲线在点
的切线方程为
5分
(2)由题意:
,即
设,则
当时,
;当
时,
所以当时,
取得最大值
故实数的取值范围为
. 10分
(3) ,
,
①当时, ∵
∴存在
使得
因为开口向上,所以在
内
,在
内
即
在
内是增函数,
在
内是减函数
故时,
在
内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 12分
②当时,因
又因为开口向上
所以在内
则
在
内为减函数,故没有极值点 14分
综上可知:当,
在
内的极值点的个数为1;当
时,
在
内的极值点的个数为0. 15分

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