题目内容

【题目】已知函数.

(1)当时,求曲线在点的切线方程;

(2)对一切 恒成立,求实数的取值范围;

(3)当时,试讨论内的极值点的个数.

【答案】(1) (2)实数的取值范围为

(3)内的极值点的个数为1;当,

内的极值点的个数为0.

【解析】试题分析:(1)利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程,注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率,最后把直线方程化成一般式;(2)利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数,然后根据函数的单调性,或者函数的最值证明函数,其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零,这往往就是解决问题的一个突破口,观察式子的特点,找到特点证明不等式;(3)对于恒成立的问题常采用分离参数的方法,常用到两个结论:(1,(2;(4)单调函数最多只有一个零点.

试题解析:解:(1) 由题意知,所以

所以曲线在点的切线方程为5

(2)由题意: ,

,

,;当,

所以当时, 取得最大值

故实数的取值范围为. 10

(3)

, 存在使得

因为开口向上,所以在,内是增函数, 内是减函数

时, 内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 12

,

又因为开口向上

所以在内为减函数,故没有极值点 14

综上可知:当内的极值点的个数为1;当,

内的极值点的个数为0. 15

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