题目内容
1．数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，Sn-2Sn-1=1（n∈N*，n≥2），数列{bn}的前n项和为Tn，满足b1=1，Tn=n2bn，n∈N*）．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若对n∈N*，恒有Sn+1＞$\frac{λ}{{b}_{n}}$成立，求实数λ的取值范围．
分析 （Ⅰ）通过an-2an-1=（Sn-2Sn-1）-（Sn-1-2Sn-2）=0可得数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，进而可得其通项；通过$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$及bn=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$•$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•…•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$•b1=$\frac{2}{n（n+1）}$可得结论．
（Ⅱ）由题只需要对任意正整数λ＜$\frac{{2}^{n+1}}{n（n+1）}$恒成立．通过$\frac{{2}^{n+1}}{n（n+1）}$-$\frac{{2}^{n}}{n（n-1）}$=$\frac{{2}^{n}（n-3）}{n（n-1）（n+1）}$可得数列的单调性，进而可得结论．
解答 解：（Ⅰ）根据题意，可得a2=2，
当n≥3时，Sn-1-2Sn-2=1，
∴an-2an-1=（Sn-2Sn-1）-（Sn-1-2Sn-2）=0，
即an=2an-1，
又∵a2=2a1，
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
即an=2n-1，n∈N*；
当n≥2时，Tn-1=（n-1）2bn-1，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴bn=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$•$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•…•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$•b1=$\frac{2}{n（n+1）}$，显然对n=1也成立．
故bn=$\frac{2}{n（n+1）}$，n∈N*；
（Ⅱ）由题意Sn=2n-1，只需要对任意正整数λ＜$\frac{{2}^{n+1}}{n（n+1）}$恒成立．
记Cn=$\frac{{2}^{n+1}}{n（n+1）}$，当n≥2时，Cn-Cn-1=$\frac{{2}^{n+1}}{n（n+1）}$-$\frac{{2}^{n}}{n（n-1）}$=$\frac{{2}^{n}（n-3）}{n（n-1）（n+1）}$，
当n≥3时数列{Cn}递增；当n≤2时数列{Cn}递减．
易知n=3或2时有最小的项C2=C3=$\frac{4}{3}$，
综上：λ＜$\frac{4}{3}$．
点评 本题考查求数列的通项，考查数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．
