Question

【题目】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a ， PA＝PC＝ a ，

（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求二面角P－AC－D的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝ a，∴PC2＝PD2＋DC2，

∴PD⊥DC．同理，PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD

（2）证明：由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又四边形ABCD是正

方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB．又AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD

（3）设AC∩BD＝O，连接PO.

由PA＝PC，知PO⊥AC．又DO⊥AC，故∠POD为二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝ .

在Rt△PDO中，tan∠POD＝ .

【解析】(1)由题意利用线面垂直的判定定理即可得证。(2)由(1)可得DO⊥AC，再根据四边形ABCD为正方形即可得AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得到AC⊥平面PDB，再由面面垂直的判定定理即可得证。(3)根据题意作出辅助线由垂直关系可得出∠POD为二面角P－AC－D的平面角，在Rt△PDO中利用边的关系求出正切值即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．