Question

20．已知函数f（x）=1+lnx-$\frac{k（x-2）}{x}$（k∈R），g（x）=x+$\frac{8}{x}$．
（1）若函数f（x）有极值，求实数k的取值范围：
（2）若当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求证：当实数k取最大整数且x＞2时，g（x）＞f（x）+3．（参考数据ln8=2.08，ln9=2.20，ln10=2.30）

Answer 1

分析 （1）求函数f（x）的定义域为（0，+∞），再化简求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2k}{{x}^{2}}$=$\frac{x-2k}{{x}^{2}}$，从而确定函数的单调性与极值，从而求实数k的取值范围；
（2）分类讨论可知最大整数k值为4；从而化简f（x）=1+lnx-4+$\frac{8}{x}$，g（x）=x+$\frac{8}{x}$，从而作差证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=1+lnx-k+$\frac{2k}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2k}{{x}^{2}}$=$\frac{x-2k}{{x}^{2}}$，
∵函数f（x）有极值，
∴f′（x）=0在（0，+∞）上有解，
即x-2k=0在（0，+∞）上有解，
故k＞0；
（2）证明：若k=0，则f（x）=1+lnx＞0在（2，+∞）上恒成立，
若k=1，由（1）知，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
故只需使f（2）=1+ln2-$\frac{2-2}{2}$=1+ln2≥0，
显然成立；
若k＞1，则f（x）在（0，2k）上是减函数，在（2k，+∞）上是增函数；
故只需使f（2k）=1+ln2k-$\frac{k（2k-2）}{2k}$=2+ln2k-k＞0，
求导可知m（k）=2+ln2k-k在（1，+∞）上是减函数，
且m（4）=2+ln8-2≈2+2.08-4＞0，
m（5）=2+ln10-5≈2+2.30-5＜0；
综上所述，最大整数k值为4；
故f（x）=1+lnx-4+$\frac{8}{x}$，g（x）=x+$\frac{8}{x}$，
故h（x）=g（x）-f（x）-3=x+$\frac{8}{x}$-（1+lnx-4+$\frac{8}{x}$）-3
=x-lnx；
h′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，
故h（x）在（2，+∞）上是增函数，
故h（x）＞h（2）=2-ln2＞0；
故g（x）＞f（x）+3成立．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与最值问题，注意求极值要判断函数的单调性．