题目内容

(08年龙岩一中模拟文)(12分)

如图,已知直线与抛物线相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0).

(Ⅰ)若动点M满足,求点M的轨迹C;

(Ⅱ)若过点B的直线(斜率不等于零)与(Ⅰ)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

 

解析:(Ⅰ)由,  

∴直线的斜率为, ………………………1分

的方程为

∴点A坐标为(1,0) ……………………………………… 2分

    则

整理,得 ………………………………………4分

∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆 ………………………… 5分

 

(Ⅱ)如图,由题意知直线的斜率存在且不为零,设方程为y=k(x-2)(k≠0)①

将①代入,整理,得

由△>0得0<k2<.   设E(x1,y1),F(x2,y2)

 ②     …………………………………………7分

由此可得

由②知

.

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(3-2,1).………………12分

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