题目内容
(08年龙岩一中模拟文)(12分)
如图,已知直线与抛物线相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0).
(Ⅰ)若动点M满足,求点M的轨迹C;
(Ⅱ)若过点B的直线(斜率不等于零)与(Ⅰ)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
解析:(Ⅰ)由,
∴直线的斜率为, ………………………1分
故的方程为,
∴点A坐标为(1,0) ……………………………………… 2分
设 则,
由得
整理,得 ………………………………………4分
∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆 ………………………… 5分
(Ⅱ)如图,由题意知直线的斜率存在且不为零,设方程为y=k(x-2)(k≠0)①
将①代入,整理,得
,
由△>0得0<k2<. 设E(x1,y1),F(x2,y2)
则 ② …………………………………………7分
令,
由此可得
由②知
.
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(3-2,1).………………12分
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