题目内容

(08年龙岩一中模拟)(12分)

如图,三棱锥P―ABC中, PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD平面PAB.

(Ⅰ) 求证:AB平面PCB;

(Ⅱ)求异面直线AP与BC所成角的大小;                                     

(Ⅲ)求二面角C-PA-B的大小的余弦值.         

                                                                                                                                                               

                                                                          

解析:解法一:

(I) ∵PC平面ABC,平面ABC,∴PCAB.

∵CD平面PAB,平面PAB,∴CDAB.            …………………………2分

,∴AB平面PCB.                      ……………………… 4分

(II) 过点A作AF//BC,且AF=BC,连结PF,CF.

为异面直线PA与BC所成的角.………5分

由(Ⅰ)可得AB⊥BC,∴CFAF.

由三垂线定理,得PFAF.

则AF=CF=,PF=

中,  tan∠PAF==

∴异面直线PA与BC所成的角为.      ……………………………8分

(III)取AP的中点E,连结CE、DE.

∵PC=AC=2, ∴CE PA,CE=

∵CD平面PAB, 由三垂线定理的逆定理,得  DEPA.

为二面角C-PA-B的平面角.             …………………………………10分

由(I) AB平面PCB,又∵AB=BC,可求得BC=

中,PB=

中, cos=

∴二面角C-PA-B大小的余弦值为.                 …………………………12分

解法二:(I)同解法一.                                           ………4分

(II) 由(I) AB平面PCB,∵PC=AC=2,又∵AB=BC,可求得BC=

以B为原点,如图建立坐标系.

则A(0,,0),B(0,0,0),                                             

C(,0,0),P(,0,2).                                               

.…6分                                         

                                                                              

 则+0+0=2.                 

==

 ∴异面直线AP与BC所成的角为.                    …………………………8分

(III)设平面PAB的法向量为= (x,y,z).

   即

解得   令= -1,  得 = (,0,-1).          …………………10分

设平面PAC的法向量为=().

 则   即

解得   令=1,  得 = (1,1,0).

=

∴二面角C-PA-B大小的余弦值为.                      ……………………12分

 

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