Question

【题目】设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；
（1）当m=2时，解不等式 ；
（2）若f（0）=1，且 在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；
（3）如果函数f（x）的图像过点（98，2），且不等式f[cos（2nx）]＜lg2对任意n∈N均成立，求实数x的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；

当m=2时，f（x）=lg（x+2）

那么：不等式 ；即lg（ +2）＞lg10，

可得： ，且

解得： ．

∴不等式的解集为{x| }

（2）解：∵f（0）=1，可得m=10．

∴f（x）=lg（x+10）

，即lg（x+10）= 在闭区间[2，3]上有实数解，

可得λ=lg（x+10）﹣

令F（x）=lg（x+10）﹣ ，求在闭区间[2，3]上的值域．

根据指数和对数的性质可知：F（x）是增函数，

∴F（x）在闭区间[2，3]上的值域为[lg12﹣ ，lg13﹣ ]

故得实数λ的范围是[lg12﹣ ，lg13﹣ ]

（3）解：∵函数f（x）的图像过点（98，2），

则有：2=lg（98+m）

∴m=2．

故f（x）=lg（2+x）

那么：不等式f[cos（2nx）]＜lg2转化为lg（2+cos（2nx））＜lg2

即 ，

∴ ，n∈N．

解得： ＜x＜ ，n∈N．

又∵2+x＞0，即x＞﹣2，

∴ ≥﹣2，n∈N．

解得：k ，

∵k∈Z，

∴k≥0．

故得任意n∈N均成立，实数x的取值集合为（ ， ），k∈N，n∈N．

【解析】（1）根据对数的运算解不等式即可．（2）根据f（0）=1，求f（x）的解析式，根据 在闭区间[2，3]上有实数解，分离λ，可得λ=lg（x+10）﹣ ，令F（x）=lg（x+10）﹣ ，求在闭区间[2，3]上的值域即为λ的范围．（3）函数f（x）的图像过点（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2nx）]＜lg2转化为lg（2+cos（2nx））＜lg2转化为 ，求解x，又∵2+x＞0，即x＞﹣2和n∈N．讨论k的范围可得答案．